Bunch of Ideas, a little bit of Maths.

I am mathematician doing market research and data science

5 minute read

Beberapa kali saya menulis tentang optimisasi di blog ini dengan berbagai tema. Mulai dari industrial, olahraga, hingga politik. Kali ini saya akan mencoba menuliskan satu tema optimisasi lain yang berhubungan dengan keseharian. Tentunya teknik optimisasinya juga berbeda dengan yang pernah saya tuliskan sebelumnya.

Mencuci handuk terlalu sering bisa boros air, energi, dan waktu tetapi jika mencuci terlalu jarang bisa menyebabkan penumpukan bakteri dan bau tidak sedap pada handuk.

Mari buat model matematika sederhana untuk menentukan frekuensi optimal mencuci handuk berdasarkan beberapa parameter yang kita tentukan.

Variabel dan Parameter

  1. n : Frekuensi mencuci handuk per minggu.
  2. C : Biaya mencuci sekali (air, deterjen, listrik).
  3. H : Tingkat ketidaknyamanan (skala 1-10) karena handuk kotor/bau.
  4. T : Waktu pemakaian handuk sejak pencucian terakhir (hari).
  5. \alpha : Faktor pertumbuhan bakteri/bau (misal: 0,5 per hari).
  6. \beta : Toleransi maksimum ketidaknyamanan yang bisa diterima. Diisi secara kualitatif personal.

Membuat Model Matematika

Mari kita definisikan beberapa formula berikut ini:

  1. B: Biaya Total

    Biaya mencuci per minggu adalah frekuensi dikali biaya per cucian: B(n) = n \cdot C.

  2. K Ketidaknyamanan

    Ketidaknyamanan meningkat seiring waktu sejak pencucian terakhir. Misalkan:

    K(T) = H \cdot e^{\alpha T}

    Jika handuk dicuci n kali per minggu, maka waktu antara pencucian adalah T = \frac{7}{n} hari.
    Sehingga:

    K(n) = H \cdot e^{\alpha \cdot \frac{7}{n}}

  3. Objective function

    Kita ingin meminimalkan total cost, yakni biaya cuci dan rasa ketidaknyamanan tetapi dengan batasan bahwa ketidaknyamanan tidak melebihi \beta.

    \text{Minimalkan } f(n) = B(n) + K(n) = nC + H \cdot e^{\alpha \cdot \frac{7}{n}}

    Dengan batasan:

    K(n) \leq \beta \implies H \cdot e^{\alpha \cdot \frac{7}{n}} \leq \beta

Mencari Solusi Optimal

Kita hendak mencari nilai n yang optimal. Pada kasus ini, setidaknya ada dua cara untuk menentukan nilai n.

  1. Cara pertama adalah dengan mencari n yang memenuhi batasan ketidaknyamanan.

    H \cdot e^{\alpha \cdot \frac{7}{n}} \leq \beta \implies n \geq \frac{7\alpha}{\ln(\beta / H)}

    Jika \beta \leq H, tidak ada solusi karena handuk sudah tidak nyaman sejak awal. Cara ini memastikan n yang dihasilkan tak akan melanggar constraint.

  2. Cara kedua adalah dengan mencari solusi eksak, yakni menggunakan prinsip kalkulus dengan menurunkan f(n).

    Turunan pertama terhadap n:

    f'(n) = C - \frac{7\alpha H}{n^2} \cdot e^{\alpha \cdot \frac{7}{n}}

    Set f'(n) = 0 untuk titik optimal:

    C = \frac{7\alpha H}{n^2} \cdot e^{\alpha \cdot \frac{7}{n}}

    Pencarian solusi secara eksak mungkin akan sulit dilakukan berdasarkan formula di atas. Ada cara yang lebih mudah yakni dengan melakukan pendekatan numerik sebagai berikut.

Contoh Numerik Menggunakan Nilai-Nilai Parameter Tertentu

Misal:

  • C = 5 (biaya cuci Rp5.000 sekali),
  • H = 1 (ketidaknyamanan awal minimal),
  • \alpha = 0.5 (pertumbuhan bau/bakteri yang cepat),
  • \beta = 5 (toleransi ketidaknyamanan maksimal 5).

Maka kita bisa mencari nilai n

  1. Langkah pertama, kita akan cari n dari constraint ketidaknyamanan:

    n \geq \frac{7 \cdot 0,5}{\ln(5/1)} \approx \frac{3,5}{1,609} \approx 2,17

    Karena nilai n berupa bulangan bulat, maka kita simpulkan nilai minimal n = 3, yakni mencuci 3 kali/minggu.

  2. Sekarang kita akan cek nilai f(n) dengan beberapa opsi berikut:

    • n = 2 \implies f(2) = 10 + e^{1,75} \approx 10 + 5,75 = 15.75
    • n = 3 \implies f(3) = 15 + e^{1,167} \approx 15 + 3,21 = 18.21
    • n = 4 \implies f(4) = 20 + e^{0,875} \approx 20 + 2,40 = 22.40

    Walaupun f(n = 2) memiliki nilai objective function yang lebih rendah, tetapi melanggar batasan ketidaknyamanan (K(n=2) \approx 5,75 > 5). Jadi, kita bisa memilih n = 3 kali perminggu secara konklusif.

Kesimpulan

Dari model optimisasi di atas, frekuensi optimal tergantung pada:

  1. Seberapa cepat handuk menjadi tidak nyaman (\alpha),
  2. Biaya mencuci (C),
  3. Toleransi ketidaknyamanan (\beta).

Oleh karena itu, kita bisa memberikan saran sebagai berikut:

  • Jika handuk cepat bau (\alpha besar), cucilah lebih sering (2-3 kali/minggu).
  • Jika biaya cuci tinggi (C besar), toleransi ketidaknyamanan bisa dinaikkan (\beta).
  • Untuk kebanyakan orang, mencuci handuk 1-2 kali/minggu sudah cukup optimal.

if you find this article helpful, support this blog by clicking the ads.

You May Also Enjoy

Mencoba Analisa Clustering Bayesian

6 minute read

Jika rekan-rekan membaca blog saya beberapa minggu belakangan, kalian akan menyadari bahwa ada 3 topik yang sedang rajin saya tulis, yakni: