SIMULASI MONTECARLO: Menghitung Nilai Pi

5 minute read

Suatu ketika di salah satu sekolah dasar di kota Bekasi. Jam menunjukkan pukul 11.50, sekitar 10 menit menuju jam pulang siswa. Sang guru memberikan kuis matematika kepada murid-muridnya.

Jika ada yang bisa menyelesaikan soal ini, boleh pulang duluan!

Begitu ujarnya.

Lantas beliau menggambar sebuah lingkaran yang diberi keterangan memiliki radius 7 cm di papan tulis. Soalnya: Hitung luas lingkaran tersebut!

Semua murid sudah hapal bahwa rumus luas lingkaran adalah:

$L = \pi * r^2$

Sebagian murid menggunakan $\pi = \frac{22}{7}$ sedangkan sebagian yang lain menggunakan $\pi = 3.14$ .

Jadi timbullah dua jawaban:

154 cm
153.86 cm

Kedua nilai tersebut dibenarkan oleh sang guru. Murid-murid yang menjawab salah satu dari kedua jawaban tersebut diperbolehkan pulang.

Pertanyaan Mendasar: Sebenarnya berapa nilai $\pi$ ?

Ada satu pertanyaan yang menggelayuti pikiran saya selama ini.

Berapa sih nilai $\pi$ yang sebenarnya?

Sebagai orang yang pernah kuliah di jurusan matematika, saya mengetahui fakta menarik bahwa $\pi$ sejatinya bukanlah $\frac{22}{7}$ .

Baik angka $\frac{22}{7}$ dan $3.14$ hanyalah aproksimasi dari nilai $\pi$ yang sebenarnya. Gak percaya? Dengan menggunakan nilai $\pi$ yang ada di base R, saya akan hitung selisihnya ke dua nilai aproksimasi tersebut:

$\pi - \frac{22}{7} =$ -0.0012645
$\pi - 3.14 =$ 0.0015927

Setelah kita tahu bahwa sejatinya nilai $\pi$ yang sebenarnya berbeda dengan apa yang kita ketahui selama ini, lalu berapa nilai sesungguhnya?

Apa ada cara menghitung nilai $\pi$ ?

Cara Menghitung $\pi$

Bagi matematikawan, ada banyak cara menghitung nilai pi. Ada yang cara deterministik dan ada cara probabilistik.

Kali ini saya akan mencoba menghitung nilai $\pi$ dengan cara kedua yakni dengan pendekatan simulasi MonteCarlo. Bagaimana cara kerjanya? Yuk perhatikan dengan seksama.

Lingkaran dengan $r = 1$

Saya mulai dari lingkaran dengan $r = 1$ berikut ini:

Dari gambar di atas, luas area pada $x$ di range $[0,1]$ saya tuliskan sebagai berikut:

$L1 = \frac{1}{4} * L_{lingkaran} = \frac{1}{4} * \pi * r^2$

$L1 = \frac{1}{4} * \pi * (1^2) = \frac{1}{4} * \pi$

Mencari Nilai $L1$

Kunci untuk mencari nilai $\pi$ adalah dengan menghitung $L1$ .

Bagaimana menghitung $L1$ ?

Untuk menghitungnya saya akan gunakan metode yang tidak biasa, yakni dengan melakukan generating random dots di area $x \in [0,1]$ dan $y \in [0,1]$ . Setiap titik yang memenuhi persyaratan $x^2 + y^2 \leq 1$ akan saya tandai sebagai inner dan diluar itu akan saya tandai sebagai outer.

Perhatikan grafik di bawah ini:

Jika dilihat dari grafik di atas, semakin banyak dots yang saya buat, semakin banyak area $L1$ yang ter-cover. Akibatnya semakin akurat saya menghitung $L1$ .

Luas $L1$ dapat saya tuliskan sebagai:

$L1 \approx \frac{count(dots_{inner})}{count(all.dots)}$

Lalu: $\pi = 4 * L1$

Berikut algoritma dan hasil perhitungan saya:

hitung_pi = function(n){
  x = runif(n)
  y = runif(n)
  data = data.frame(x,y)
  data =
    data %>%
    distinct() %>%
    mutate(jatuh = x^2 + y^2,
           ket = ifelse(jatuh <= 1, 1,0))
  return(4 * sum(data$ket)/length(data$ket))
}

Ternyata hasil perhitungan saya dengan membuat 4 juta dots lebih akurat dibandingkan pendekatan $\frac{22}{7}$ .

Dukung selalu blog ini agar bisa terus bertumbuh dengan cara klik iklan selepas Kamu membaca setiap tulisan yang ada yah.

Share on

Twitter Facebook LinkedIn

Bunch of Ideas, a little bit of Maths.

SIMULASI MONTECARLO: Menghitung Nilai Pi

Pertanyaan Mendasar: Sebenarnya berapa nilai $\pi$ ?