Bunch of Ideas, a little bit of Maths.

I am mathematician doing market research and data science

45 minute read

Beberapa bulan silam, saya sempat menuliskan tentang bagaimana konsep automatic replenishment di suatu gudang distributor barang tertentu. Kali ini saya hendak menuliskan algoritma yang bisa digunakan untuk melakukan simulasi automatic replenishment di suatu depot pengisian galon air isi ulang. Seperti biasa, saya menggunakan R untuk menulis algoritma dan kemudian melakukan simulasi.

Suatu ketika, di salah satu depot pengisian galon air isi ulang, proses bisnis yang terjadi adalah sebagai berikut:

  1. Depot tersebut menjual air isi ulang untuk galon-galon kosong dari konsumen.
  2. Pengiriman bahan baku (air murni) dilakukan menggunakan satu truk tangki yang harus terisi dengan penuh dalam sekali pengiriman (misal: kapasitas tanki = 700 liter. Kelak nilai ini akan disebut dengan economic order quantity - EOQ). Lead time pengiriman bervariasi selama 1-2 hari dari hari pemesanan. Pemesanan dan pengiriman bisa dilakukan hari apa saja.
  3. Pemesanan baru dilakukan jika stok air di tangki depot sudah kurang dari reorder point (ROP) yang ditetapkan perusahaan. Cara perusahaan menghitung reorder point adalah: ss = 2 \times \sigma D. Dimana \sigma D adalah standar deviasi dari demand selama 30 hari ke depan.
  4. Demand selama 30 hari ke depan disimulasikan menggunakan data historikal pada bulan-bulan sebelumnya.
  5. Untuk melakukan pengiriman, biaya yang keluar adalah tetap sebesar Rp500.000.
  6. Kapasitas tangki penampungan air di depot tersebut sangat besar sehingga kita bisa abaikan faktor ini.
  7. Kualitas air yang tertampung dalam tangki depot akan menurun seiringnya waktu. Diperkirakan biaya yang timbul akibat penurunan kualitas air ini adalah Rp1.500 per liter air. (Kelak kita akan sebut biaya ini sebagai carrying cost).
  8. Jika ada pelanggan datang untuk membeli air namun persediaan air habis. Maka akan dihitung sebagai loss sales. Besarannya adalah sebesar Rp5.000 per liter air. (Kelak besaran ini akan dihitung sebagai biaya yang dinamakan shortage cost).
  9. Saldo air di tangki depot pada hari 1 adalah sebesar 20 liter air.
  10. Jika demand pada hari tersebut lebih besar dari stok air di depot, maka depot hanya bisa memenuhi demand sebagian saja (tergantung stok air). Sisa demand yang tidak terpenuhi akan menjadi loss sales.

Sekarang kita akan membuat algoritmanya.

Pendefinisian beberapa parameter

leadtime_min = 1
leadtime_max = 2
carrying_cost_per_unit = 1500
ordering_cost = 500000
stock_out_cost = 5000

Generate random number untuk demand

Untuk kasus ini saya gunakan random number berdistribusi normal. Pada real condition kita bisa dengan mudah melakukan generate number berdasarkan data historikal yang ada.

D = runif(30,0,5) * 10 
D = round(D,0)

Menghitung safety stock

sigmaL = sd(D)
ss = 2 * sigmaL

Simulasi pada hari 1

Pada hari pertama ini, saya akan coba hitung:

  1. Berapa banyak order yang bisa dipenuhi (fullfilled).
  2. Stok di akhir hari (ending stock).
  3. Apakah ada loss sales? (stock outage).
  4. Apakah perlu melakukan pemesanan air dari supplier? (place order).
  5. Jika iya, kapan pesanan tersebut sampai? (order arrive at days …)
# initial condition
days = 1:30
begin_stok = c(20)
order_recv = c(0)
avail_stock = c(0)
demand = D
full_filled = rep(NA,30)
ending_stock = rep(NA,30)
stock_outage = rep(NA,30)
place_order = rep(NA,30)
lead_time = rep(NA,30)
order_arrive_at = rep(NA,30)
i = 1

# ===========================
# perhitungan

# hitung saldo sekarang
avail_stock[i] = begin_stok[i] + order_recv[i]

# perhitungan demand berapa yang bisa dipenuhi
# asumsi bisa dipenuhi sebagian
full_filled[i] = ifelse(avail_stock[i] < demand[i],
                        avail_stock[i],
                        demand[i])
# perhitungan ending stok
ending_stock[i] = avail_stock[i] - full_filled[i]                     
# outage atau tidak
stock_outage[i] = demand[i] - full_filled[i]
# perlu pesan lagi atau tidak?
place_order[i] = ifelse(ending_stock[i] <= ss,
                        1,
                        0)
# lead time pengiriman
lead_time[i] = sample(leadtime_min:leadtime_max,1)
# order akan datang kapan
order_arrive_at[i] = ifelse(place_order[i] == 1,
                            i + lead_time[i],
                            0)

Simulasi pada hari 2

Pada hari kedua ini, algoritma yang dilakukan sama dengan algoritma pada hari pertama. Perbedaannya ada pada variabel order. Jika dijadwalkan air datang hari ini, maka akan masuk sejumlah air masuk ke dalam depot.

i = 2
# stok hari i adalah stok hari i-1
begin_stok[i] = ending_stock[i-1]

# jika order arrive, maka order sama dengan eoq
if(i == order_arrive_at[i-1]){order_recv[i] = eoq}
if(i != order_arrive_at[i-1]){order_recv[i] = 0}

Simulasi pada hari 3 hingga 30

Modifikasi hanya dilakukan pada variabel order. Jika pada hari 1 didapatkan kondisi leadtime pengiriman 2 hari (maka air akan datang pada hari ke 3), maka pada hari ke 2 kita tidak boleh meminta pengiriman lagi (harus bersabar hingga esok air datang).

for i in 3 to 30

# stok hari i adalah stok hari i-1
begin_stok[i] = ending_stock[i-1]

# jika order arrive, maka order sama dengan eoq
if(i == order_arrive_at[i-1] | i == order_arrive_at[i-2]){order_recv[i] = eoq}
else{order_recv[i] = 0}

Hasil Simulasi

Jika algoritma simulasi di atas di-run sekali, maka hasilnya adalah sebagai berikut:

days begin_stok order_recv avail_stock demand full_filled ending_stock stock_outage place_order lead_time order_arrive_at carrying_cost ordering_cost stock_outage_cost total_cost
1 20 0 20 21 20 0 1 1 2 3 0 500000 5000 505000
2 0 0 0 49 0 0 49 1 2 0 0 0 245000 245000
3 0 700 700 42 42 658 0 0 1 0 987000 0 0 987000
4 658 0 658 34 34 624 0 0 2 0 936000 0 0 936000
5 624 0 624 8 8 616 0 0 2 0 924000 0 0 924000
6 616 0 616 2 2 614 0 0 1 0 921000 0 0 921000
7 614 0 614 15 15 599 0 0 1 0 898500 0 0 898500
8 599 0 599 17 17 582 0 0 1 0 873000 0 0 873000
9 582 0 582 16 16 566 0 0 2 0 849000 0 0 849000
10 566 0 566 11 11 555 0 0 1 0 832500 0 0 832500
11 555 0 555 31 31 524 0 0 2 0 786000 0 0 786000
12 524 0 524 41 41 483 0 0 2 0 724500 0 0 724500
13 483 0 483 41 41 442 0 0 1 0 663000 0 0 663000
14 442 0 442 14 14 428 0 0 1 0 642000 0 0 642000
15 428 0 428 33 33 395 0 0 2 0 592500 0 0 592500
16 395 0 395 24 24 371 0 0 1 0 556500 0 0 556500
17 371 0 371 42 42 329 0 0 1 0 493500 0 0 493500
18 329 0 329 31 31 298 0 0 2 0 447000 0 0 447000
19 298 0 298 12 12 286 0 0 1 0 429000 0 0 429000
20 286 0 286 15 15 271 0 0 2 0 406500 0 0 406500
21 271 0 271 11 11 260 0 0 1 0 390000 0 0 390000
22 260 0 260 16 16 244 0 0 2 0 366000 0 0 366000
23 244 0 244 32 32 212 0 0 2 0 318000 0 0 318000
24 212 0 212 22 22 190 0 0 1 0 285000 0 0 285000
25 190 0 190 30 30 160 0 0 1 0 240000 0 0 240000
26 160 0 160 1 1 159 0 0 1 0 238500 0 0 238500
27 159 0 159 13 13 146 0 0 1 0 219000 0 0 219000
28 146 0 146 28 28 118 0 0 2 0 177000 0 0 177000
29 118 0 118 15 15 103 0 0 1 0 154500 0 0 154500
30 103 0 103 31 31 72 0 0 1 0 108000 0 0 108000 
## Total cost yang dikeluarkan saat EOQ = 700 adalah: Rp16.208 juta
## Reorder Point hasil perhitungan = 25

Jika kita run sekali lagi, maka hasilnya adalah sebagai berikut:

days begin_stok order_recv avail_stock demand full_filled ending_stock stock_outage place_order lead_time order_arrive_at carrying_cost ordering_cost stock_outage_cost total_cost
1 20 0 20 15 15 5 0 1 2 3 7500 500000 0 507500
2 5 0 5 47 5 0 42 1 1 0 0 0 210000 210000
3 0 700 700 1 1 699 0 0 1 0 1048500 0 0 1048500
4 699 0 699 50 50 649 0 0 1 0 973500 0 0 973500
5 649 0 649 36 36 613 0 0 2 0 919500 0 0 919500
6 613 0 613 25 25 588 0 0 1 0 882000 0 0 882000
7 588 0 588 41 41 547 0 0 1 0 820500 0 0 820500
8 547 0 547 14 14 533 0 0 1 0 799500 0 0 799500
9 533 0 533 47 47 486 0 0 2 0 729000 0 0 729000
10 486 0 486 12 12 474 0 0 1 0 711000 0 0 711000
11 474 0 474 23 23 451 0 0 1 0 676500 0 0 676500
12 451 0 451 14 14 437 0 0 1 0 655500 0 0 655500
13 437 0 437 31 31 406 0 0 1 0 609000 0 0 609000
14 406 0 406 7 7 399 0 0 2 0 598500 0 0 598500
15 399 0 399 4 4 395 0 0 2 0 592500 0 0 592500
16 395 0 395 14 14 381 0 0 1 0 571500 0 0 571500
17 381 0 381 17 17 364 0 0 1 0 546000 0 0 546000
18 364 0 364 42 42 322 0 0 1 0 483000 0 0 483000
19 322 0 322 38 38 284 0 0 1 0 426000 0 0 426000
20 284 0 284 33 33 251 0 0 2 0 376500 0 0 376500
21 251 0 251 7 7 244 0 0 2 0 366000 0 0 366000
22 244 0 244 26 26 218 0 0 1 0 327000 0 0 327000
23 218 0 218 32 32 186 0 0 1 0 279000 0 0 279000
24 186 0 186 49 49 137 0 0 1 0 205500 0 0 205500
25 137 0 137 31 31 106 0 0 1 0 159000 0 0 159000
26 106 0 106 33 33 73 0 0 1 0 109500 0 0 109500
27 73 0 73 19 19 54 0 0 1 0 81000 0 0 81000
28 54 0 54 39 39 15 0 1 1 29 22500 500000 0 522500
29 15 700 715 36 36 679 0 0 1 0 1018500 0 0 1018500
30 679 0 679 34 34 645 0 0 1 0 967500 0 0 967500 
## Total cost yang dikeluarkan saat EOQ = 700 adalah: Rp17.172 juta
## Reorder Point hasil perhitungan = 29

Jika kita run sekali lagi, maka hasilnya adalah sebagai berikut:

days begin_stok order_recv avail_stock demand full_filled ending_stock stock_outage place_order lead_time order_arrive_at carrying_cost ordering_cost stock_outage_cost total_cost
1 20 0 20 44 20 0 24 1 1 2 0 500000 120000 620000
2 0 700 700 1 1 699 0 0 2 0 1048500 0 0 1048500
3 699 0 699 17 17 682 0 0 1 0 1023000 0 0 1023000
4 682 0 682 30 30 652 0 0 1 0 978000 0 0 978000
5 652 0 652 43 43 609 0 0 2 0 913500 0 0 913500
6 609 0 609 39 39 570 0 0 2 0 855000 0 0 855000
7 570 0 570 40 40 530 0 0 1 0 795000 0 0 795000
8 530 0 530 6 6 524 0 0 2 0 786000 0 0 786000
9 524 0 524 25 25 499 0 0 2 0 748500 0 0 748500
10 499 0 499 49 49 450 0 0 2 0 675000 0 0 675000
11 450 0 450 40 40 410 0 0 2 0 615000 0 0 615000
12 410 0 410 11 11 399 0 0 1 0 598500 0 0 598500
13 399 0 399 17 17 382 0 0 2 0 573000 0 0 573000
14 382 0 382 48 48 334 0 0 1 0 501000 0 0 501000
15 334 0 334 24 24 310 0 0 2 0 465000 0 0 465000
16 310 0 310 20 20 290 0 0 1 0 435000 0 0 435000
17 290 0 290 36 36 254 0 0 1 0 381000 0 0 381000
18 254 0 254 11 11 243 0 0 2 0 364500 0 0 364500
19 243 0 243 40 40 203 0 0 2 0 304500 0 0 304500
20 203 0 203 27 27 176 0 0 2 0 264000 0 0 264000
21 176 0 176 47 47 129 0 0 2 0 193500 0 0 193500
22 129 0 129 15 15 114 0 0 1 0 171000 0 0 171000
23 114 0 114 34 34 80 0 0 2 0 120000 0 0 120000
24 80 0 80 27 27 53 0 0 1 0 79500 0 0 79500
25 53 0 53 34 34 19 0 1 1 26 28500 500000 0 528500
26 19 700 719 22 22 697 0 0 2 0 1045500 0 0 1045500
27 697 0 697 39 39 658 0 0 1 0 987000 0 0 987000
28 658 0 658 27 27 631 0 0 1 0 946500 0 0 946500
29 631 0 631 49 49 582 0 0 1 0 873000 0 0 873000
30 582 0 582 4 4 578 0 0 2 0 867000 0 0 867000 
## Total cost yang dikeluarkan saat EOQ = 700 adalah: Rp18.756 juta
## Reorder Point hasil perhitungan = 28

Jika kita run berulang-ulang sebanyak-banyaknya (inilah salah satu kelebihan melakukan simulasi menggunakan coding seperti R atau Python), maka akan kita dapatkan expected total cost berada di kisaran Rp16 - Rp17 juta.

Perbandingan dengan Hitungan Teoritis

Dari berbagai jurnal terkait automatic replenishment, saya mendapatkan suatu istilah economic order quantity (EOQ), yakni suatu nilai pemesanan bahan baku yang bisa meminimalkan semua biaya yang timbul (ordering cost dan carrying cost). Secara teoritis, cara menghitung EOQ yang optimal adalah sebagai berikut:

eoq = \sqrt{ \frac{2 \times D \times C_0}{C_h}}

Di mana:

  • D : demand pada 30 hari.
  • C_0 : ordering cost.
  • C_h : carrying cost.

Hal yang dimaksud dengan optimal di sini adalah EOQ yang bisa meminimalkan ordering cost dan carrying cost. Selain itu ROP juga ada formula tersendiri. Biasanya ROP dihitung dengan cara:

rop = \hat{D} + ss

Di mana:

  • \hat{D} : average demand during lead time.
  • ss : safety stock; dihitung dengan mengasumsikan service level terpenuhi.

Service level adalah persentase di mana demand diharapkan terpenuhi. Formula untuk menghitung ss adalah:

ss = normsinv(CSL) * \sigma D

Di mana:

  • CSL : cycle service level misalkan dipakai 95%.
  • \sigma D : standar deviasi demand pada lead time.

Jika saya melakukan simulasi kembali dengan nilai EOQ dan ROP sesuai dengan teoritis, maka kita dapatkan:

days begin_stok order_recv avail_stock demand full_filled ending_stock stock_outage place_order lead_time order_arrive_at carrying_cost ordering_cost stock_outage_cost total_cost
1 20 0 20 46 20 0 26 1 2 3 0 500000 130000 630000
2 0 0 0 36 0 0 36 1 2 0 0 0 180000 180000
3 0 644 644 1 1 643 0 0 1 0 964500 0 0 964500
4 643 0 643 36 36 607 0 0 1 0 910500 0 0 910500
5 607 0 607 41 41 566 0 0 1 0 849000 0 0 849000
6 566 0 566 7 7 559 0 0 1 0 838500 0 0 838500
7 559 0 559 34 34 525 0 0 2 0 787500 0 0 787500
8 525 0 525 10 10 515 0 0 1 0 772500 0 0 772500
9 515 0 515 12 12 503 0 0 2 0 754500 0 0 754500
10 503 0 503 44 44 459 0 0 1 0 688500 0 0 688500
11 459 0 459 43 43 416 0 0 2 0 624000 0 0 624000
12 416 0 416 22 22 394 0 0 1 0 591000 0 0 591000
13 394 0 394 3 3 391 0 0 2 0 586500 0 0 586500
14 391 0 391 1 1 390 0 0 2 0 585000 0 0 585000
15 390 0 390 44 44 346 0 0 1 0 519000 0 0 519000
16 346 0 346 1 1 345 0 0 2 0 517500 0 0 517500
17 345 0 345 37 37 308 0 0 1 0 462000 0 0 462000
18 308 0 308 6 6 302 0 0 2 0 453000 0 0 453000
19 302 0 302 13 13 289 0 0 1 0 433500 0 0 433500
20 289 0 289 5 5 284 0 0 2 0 426000 0 0 426000
21 284 0 284 7 7 277 0 0 1 0 415500 0 0 415500
22 277 0 277 33 33 244 0 0 2 0 366000 0 0 366000
23 244 0 244 27 27 217 0 0 2 0 325500 0 0 325500
24 217 0 217 16 16 201 0 0 2 0 301500 0 0 301500
25 201 0 201 18 18 183 0 0 1 0 274500 0 0 274500
26 183 0 183 20 20 163 0 0 1 0 244500 0 0 244500
27 163 0 163 5 5 158 0 0 1 0 237000 0 0 237000
28 158 0 158 20 20 138 0 0 2 0 207000 0 0 207000
29 138 0 138 5 5 133 0 0 1 0 199500 0 0 199500
30 133 0 133 29 29 104 0 0 1 0 156000 0 0 156000 
## Total cost yang dikeluarkan saat EOQ = 644 adalah: Rp15.3 juta
## Reorder Point hasil perhitungan = 46

Dari sekali simulasi, kita dapatkan nilai EOQ yang lebih rendah tapi nilai ROP yang lebih tinggi. Jika simulasi ini dilakukan berulang-ulang kali sebanyak-banyaknya, kita dapatkan expected EOQ berada di kisaran 620 - 670 liter air dengan expected total cost berada di kisaran Rp15 - Rp16 juta.

Total cost yang dihasilkan relatif lebih rendah dibandingkan kondisi saat ini dimana EOQ diwajibkan sebesar 700 liter

Hasil Optimal dari Simulasi

Salah satu pertanyaan yang muncul di benak saya adalah, apakah EOQ yang dihasilkan di atas sudah optimal? Salah satu concern saya adalah jika EOQ yang digunakan bernilai besar, salah satu konsekuensinya adalah carrying cost-nya juga meledak.

Lantas, saya mencoba melakukan simulasi dengan mencoba nilai EOQ = 200 dan nilai ROP masih sama sesuai dengan formulasi perhitungan sebelumnya. Begini hasil simulasinya:

days begin_stok order_recv avail_stock demand full_filled ending_stock stock_outage place_order lead_time order_arrive_at carrying_cost ordering_cost stock_outage_cost total_cost
1 20 0 20 49 20 0 29 1 1 2 0 500000 145000 645000
2 0 200 200 35 35 165 0 0 1 0 247500 0 0 247500
3 165 0 165 43 43 122 0 0 2 0 183000 0 0 183000
4 122 0 122 30 30 92 0 0 2 0 138000 0 0 138000
5 92 0 92 45 45 47 0 1 1 6 70500 500000 0 570500
6 47 200 247 43 43 204 0 0 2 0 306000 0 0 306000
7 204 0 204 23 23 181 0 0 2 0 271500 0 0 271500
8 181 0 181 14 14 167 0 0 1 0 250500 0 0 250500
9 167 0 167 30 30 137 0 0 2 0 205500 0 0 205500
10 137 0 137 40 40 97 0 0 2 0 145500 0 0 145500
11 97 0 97 39 39 58 0 0 1 0 87000 0 0 87000
12 58 0 58 47 47 11 0 1 2 14 16500 500000 0 516500
13 11 0 11 31 11 0 20 1 2 0 0 0 100000 100000
14 0 200 200 41 41 159 0 0 1 0 238500 0 0 238500
15 159 0 159 30 30 129 0 0 2 0 193500 0 0 193500
16 129 0 129 46 46 83 0 0 1 0 124500 0 0 124500
17 83 0 83 6 6 77 0 0 1 0 115500 0 0 115500
18 77 0 77 8 8 69 0 0 1 0 103500 0 0 103500
19 69 0 69 41 41 28 0 1 1 20 42000 500000 0 542000
20 28 200 228 37 37 191 0 0 1 0 286500 0 0 286500
21 191 0 191 38 38 153 0 0 1 0 229500 0 0 229500
22 153 0 153 2 2 151 0 0 2 0 226500 0 0 226500
23 151 0 151 26 26 125 0 0 1 0 187500 0 0 187500
24 125 0 125 11 11 114 0 0 1 0 171000 0 0 171000
25 114 0 114 46 46 68 0 0 1 0 102000 0 0 102000
26 68 0 68 4 4 64 0 0 2 0 96000 0 0 96000
27 64 0 64 34 34 30 0 1 1 28 45000 500000 0 545000
28 30 200 230 3 3 227 0 0 2 0 340500 0 0 340500
29 227 0 227 36 36 191 0 0 1 0 286500 0 0 286500
30 191 0 191 16 16 175 0 0 2 0 262500 0 0 262500 
## Total cost yang dikeluarkan saat EOQ = 200 adalah: Rp7.718 juta
## Reorder Point hasil perhitungan = 54

Secara mengejutkan total cost yang dihasilkan jauh lebih menurun! Lalu kita bisa lihat, walaupun stock outage cost meningkat tapi nilainya tetap terjaga akibat ROP yang tinggi.

Jika saya melakukan simulasi ini berulang kali, saya dapatkan expected total cost sebesar Rp6 - Rp7 juta.

Kesimpulan

Nilai EOQ = 200 belum tentu merupakan solusi yang paling optimal karena saya hanya melakukan coba-coba saja. Jika mau menemukan solusi yang optimal berdasarkan algoritma simulasi ini, saya bisa memanfaatkan algoritma spiral.

Penentuan ROP bisa jadi menjadi titik kritis karena akan menentukan kapan bahan baku air harus dipesan sehingga bisa meminimalisir loss sales.

Saya menduga dengan mengecilkan EOQ dan membuat ROP tinggi (sesuai dengan formula yang ada) bisa meminimalisir total cost yang timbul.

if you find this article helpful, support this blog by clicking the ads

You May Also Enjoy

Menjalankan R Studio Server di Railway.app

4 minute read

Jika rekan-rekan mengikuti tulisan saya di blog ini, kalian akan mengetahui berbagai upaya yang saya lakukan agar saya bisa menggunakan R Studio secara onlin...