Optimization Story: Perencanaan Produksi pada Industri Mebel

12 minute read

Masalah

Suatu industri UMKM “Mebel Jaya Selalu” memproduksi dua jenis produk unggulan:

Meja Belajar dan
Rak Buku.

Untuk memproduksi kedua items tersebut, mereka membutuhkan tiga sumber daya utama yang terbatas:

Kayu mahoni,
Kayu pinus, dan
Jam kerja tukang kayu.

Pemilik UMKM ingin menentukan berapa banyak meja dan rak yang harus diproduksi dalam satu minggu untuk memaksimalkan total keuntungan.

Masalah ini termasuk ke dalam Mixed Integer Linear Programming (MILP) karena untuk memulai produksi salah satu jenis produk (meja atau rak), ada biaya persiapan (setup cost). Biaya ini hanya muncul satu kali jika produk tersebut diputuskan untuk diproduksi, tidak peduli berapa banyak unit yang dibuat. Misalnya, biaya untuk menyiapkan mesin potong khusus, membeli mata bor ukuran tertentu, dan lainnya.

Jika UMKM memutuskan tidak memproduksi meja sama sekali, maka biaya persiapan untuk meja tidak perlu dikeluarkan.

Data dan Asumsi

Berikut adalah data yang dimiliki oleh UMKM “Mebel Jaya Selalu”:

Keterangan	Meja Belajar	Rak Buku	Ketersediaan Sumber Daya (per minggu)
Keuntungan per Unit	Rp 400.000	Rp 250.000	-
Kebutuhan Kayu Mahoni	4 meter	2 meter	100 meter
Kebutuhan Kayu Pinus	2 meter	3 meter	90 meter
Kebutuhan Jam Kerja	5 jam	3 jam	120 jam
Biaya Persiapan (Setup Cost)	Rp 500.000	Rp 300.000	-

Data Kebutuhan dan Persiapan Produksi

Tujuannya adalah untuk memaksimalkan (Total Keuntungan dari Penjualan) - (Total Biaya Persiapan).

Perumusan Model Matematika MILP

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu merumuskannya ke dalam model matematika.

Variabel Keputusan; kita membutuhkan dua jenis variabel:

Variabel Kontinu/Integer (untuk jumlah produksi):
- $x_1$ = Jumlah Meja Belajar yang akan diproduksi.
- $x_2$ = Jumlah Rak Buku yang akan diproduksi. (Kita asumsikan $x_1$ dan $x_2$ harus bilangan bulat, karena tidak mungkin memproduksi setengah meja).
Variabel Biner (untuk keputusan produksi “ya/tidak”):
- = Variabel keputusan untuk Meja Belajar.
  - $y_1 = 1$ jika Meja Belajar diproduksi ( $x_1 > 0$ ).
  - $y_1 = 0$ jika Meja Belajar tidak diproduksi ( $x_1 = 0$ ).
- = Variabel keputusan untuk Rak Buku.
  - $y_2 = 1$ jika Rak Buku diproduksi ( $x_2 > 0$ ).
  - $y_2 = 0$ jika Rak Buku tidak diproduksi ( $x_2 = 0$ ).

Fungsi Tujuan; Tujuannya adalah memaksimalkan keuntungan total ( $Z$ ). Keuntungan total dihitung dari keuntungan penjualan dikurangi biaya persiapan.

$\text{Maksimalkan } Z = (400000 \cdot x_1 + 250000 \cdot x_2) - (500000 \cdot y_1 + 300000 \cdot y_2)$

Fungsi Kendala; Kendala adalah batasan-batasan sumber daya yang ada.

Kendala Kayu Mahoni: Total kayu mahoni yang digunakan tidak boleh melebihi yang tersedia.
- $4x_1 + 2x_2 \le 100$
Kendala Kayu Pinus: Total kayu pinus yang digunakan tidak boleh melebihi yang tersedia.
- $2x_1 + 3x_2 \le 90$
Kendala Jam Kerja: Total jam kerja yang digunakan tidak boleh melebihi yang tersedia.
- $5x_1 + 3x_2 \le 120$
Kendala Penghubung (Linking Constraints): Ini adalah bagian terpenting yang menghubungkan jumlah produksi () dengan keputusan produksi ().
- Kita perlu memastikan jika , maka harus bernilai 1. Caranya adalah dengan menggunakan Big M Method.
  - $x_1 \le M \cdot y_1$
  - $x_2 \le M \cdot y_2$
- Penjelasan: adalah angka yang sangat besar (misalnya 1000, yang jelas lebih besar dari jumlah meja atau rak yang mungkin diproduksi).
  - Jika $y_1 = 0$ , maka kendala menjadi $x_1 \le 0$ . Karena $x_1$ tidak bisa negatif, ini memaksa $x_1 = 0$ . Artinya, tidak ada meja yang diproduksi.
  - Jika $y_1 = 1$ , maka kendala menjadi $x_1 \le M$ . Ini menjadi kendala yang tidak mengikat (redundant), sehingga $x_1$ bisa mengambil nilai berapapun selama masih memenuhi kendala sumber daya lain.
Kendala Non-Negatif dan Tipe Variabel:
- $x_1, x_2 \ge 0 \text{ dan merupakan bilangan bulat (integer)}$
- $y_1, y_2 \text{ adalah biner (0 atau 1)}$

Model Optimisasi

$\text{Maksimalkan } Z = (400000 \cdot x_1 + 250000 \cdot x_2) - (500000 \cdot y_1 + 300000 \cdot y_2)$

Subject to:

$4x_1 + 2x_2 \le 100$ (Kayu Mahoni).
$2x_1 + 3x_2 \le 90$ (Kayu Pinus).
$5x_1 + 3x_2 \le 120$ (Jam Kerja).
$x_1 \le 1000y_1$ (Kendala penghubung Meja).
$x_2 \le 1000y_2$ (Kendala penghubung Rak).
$x_1, x_2 \ge 0$ dan integer.
$y_1, y_2 biner$ (0 atau 1).

Solusi dari model ini akan memberi tahu pemilik UMKM secara pasti:

Apakah mereka harus memproduksi meja belajar? (nilai $y_1$ ).
Apakah mereka harus memproduksi rak buku? (nilai $y_2$ ).
Jika ya, berapa unit masing-masing yang harus diproduksi? (nilai $x_1$ dan $x_2$ ).
Berapa keuntungan maksimal yang bisa didapat? (nilai $Z$ ).

Menyelesaikan Model

Untuk menyelesaikan model di atas, kita akan menggunakan dua pendekatan yakni ompr dengan R dan or tools dengan Python.

`ompr` di R

Berikut adalah skripnya:

library(dplyr)
library(tidyr)
library(ompr)
library(ompr.roi)
library(ROI.plugin.glpk)

bin_prog = 
  MIPModel() %>%
  # menambah variabel
  add_variable(x[i],i = 1:2,type = "integer",lb = 0) %>%
  add_variable(y[i],i = 1:2,type = "binary")  |> 
  # membuat objective function
  set_objective((400000*x[1]) + (250000*x[2]) - (500000*y[1]) - (300000*y[2]), 
                "max") |> 
  # menambah constraints
  add_constraint((4*x[1]) + (2*x[2]) <= 100) |> 
  add_constraint((2*x[1]) + (3*x[2]) <= 90) |> 
  add_constraint((5*x[1]) + (3*x[2]) <= 120) |> 
  add_constraint(x[1] <= 1000*y[1]) |> 
  add_constraint(x[2] <= 1000*y[2])

Berikut adalah hasilnya:

jenis	produksi
Meja	1
Rak	0

jenis	unit
Meja	24
Rak	0

Ternyata dengan memproduksi meja sebanyak 24 unit akan memaksimalkan keuntungan UMKM tersebut.

`or tools` di Python

OR-Tools (Operations Research Tools) adalah library open-source buatan Google yang dikembangkan untuk menyelesaikan masalah optimasi kombinatorial dan pemrograman matematika. Diluncurkan sekitar tahun 2010, library ini dirancang untuk menjadi alat yang scalable dan efisien dalam menyelesaikan masalah kompleks seperti routing kendaraan, penjadwalan, penugasan, dan optimasi linear. OR-Tools dibangun berdasarkan pengalaman internal Google dalam menangani masalah optimasi skala besar dan menggabungkan berbagai state-of-the-art solver serta algoritma heuristik.

Yang membuat OR-Tools istimewa adalah dukungannya terhadap multiple programming languages (C++, Python, Java, C#), fleksibilitas dalam pemodelan masalah, dan kemampuan untuk menangani berbagai tipe masalah optimasi seperti linear programming, constraint programming, dan mixed-integer programming. Library ini tidak hanya menyediakan solver internal yang powerful tetapi juga dapat terintegrasi dengan solver eksternal seperti SCIP, GLPK, dan CP-SAT, menjadikannya pilihan populer baik untuk penelitian akademis maupun aplikasi industri skala enterprise.

Jangan lupa untuk menginstall ortools di terminal:

pip install ortools

Berikut adalah skrip di Python nya:

from ortools.linear_solver import pywraplp

def solve_milp():
    # Membuat solver
    solver = pywraplp.Solver.CreateSolver('SCIP')
    
    # Membuat variabel
    x = {}
    y = {}
    for i in range(1, 3):
        x[i] = solver.IntVar(0, solver.infinity(), f'x_{i}')
        y[i] = solver.BoolVar(f'y_{i}')
    
    # Membuat objective function
    objective = solver.Objective()
    objective.SetCoefficient(x[1], 400000)
    objective.SetCoefficient(x[2], 250000)
    objective.SetCoefficient(y[1], -500000)
    objective.SetCoefficient(y[2], -300000)
    objective.SetMaximization()
    
    # Menambah constraints
    # Constraint 1: 4*x1 + 2*x2 <= 100
    constraint1 = solver.Constraint(-solver.infinity(), 100)
    constraint1.SetCoefficient(x[1], 4)
    constraint1.SetCoefficient(x[2], 2)
    
    # Constraint 2: 2*x1 + 3*x2 <= 90
    constraint2 = solver.Constraint(-solver.infinity(), 90)
    constraint2.SetCoefficient(x[1], 2)
    constraint2.SetCoefficient(x[2], 3)
    
    # Constraint 3: 5*x1 + 3*x2 <= 120
    constraint3 = solver.Constraint(-solver.infinity(), 120)
    constraint3.SetCoefficient(x[1], 5)
    constraint3.SetCoefficient(x[2], 3)
    
    # Constraint 4: x1 <= 1000*y1
    constraint4 = solver.Constraint(-solver.infinity(), 0)
    constraint4.SetCoefficient(x[1], 1)
    constraint4.SetCoefficient(y[1], -1000)
    
    # Constraint 5: x2 <= 1000*y2
    constraint5 = solver.Constraint(-solver.infinity(), 0)
    constraint5.SetCoefficient(x[2], 1)
    constraint5.SetCoefficient(y[2], -1000)
    
    # Solve the problem
    status = solver.Solve()
    
    # Print results
    if status == pywraplp.Solver.OPTIMAL:
        print('Solution:')
        print('Objective value =', solver.Objective().Value())
        for i in range(1, 3):
            print(f'x[{i}] =', x[i].solution_value())
        for i in range(1, 3):
            print(f'y[{i}] =', int(y[i].solution_value()))
    else:
        print('The problem does not have an optimal solution.')

# Run the solver
solve_milp()

Kita dapatkan hasil yang sama, yakni:

Solution:
Objective value = 9100000.000000002
x[1] = 24.0
x[2] = 0.0
y[1] = 1
y[2] = 0

if you find this article helpful, support this blog by clicking the ads.

Share on

X Facebook LinkedIn Bluesky

Bunch of Ideas, a little bit of Maths.

Optimization Story: Perencanaan Produksi pada Industri Mebel

Masalah

Data dan Asumsi

Perumusan Model Matematika MILP

Model Optimisasi

Menyelesaikan Model

`ompr` di R

`or tools` di Python

Share on

You May Also Enjoy

Visualisasi Tree Diagram untuk Data Survey dengan vtree

Tutorial Statistika Deskriptif Secara Otomatis dengan R

Belajar Time Series Forecasting Menggunakan Prophet Buatan Facebook (Meta)

Optimization Story: Optimisasi Antrian Lane Security Checking di Bandara

Bunch of Ideas, a little bit of Maths.

Masalah

Data dan Asumsi

Perumusan Model Matematika MILP

Model Optimisasi

Menyelesaikan Model

ompr di R

or tools di Python

Share on

You May Also Enjoy

Visualisasi Tree Diagram untuk Data Survey dengan vtree

Tutorial Statistika Deskriptif Secara Otomatis dengan R

Belajar Time Series Forecasting Menggunakan Prophet Buatan Facebook (Meta)

Optimization Story: Optimisasi Antrian Lane Security Checking di Bandara

`ompr` di R

`or tools` di Python