Tugas/Ujian Sains Komputasi: Algoritma dan Perancangan Software - UTS I Soal 1b

• Soal 1b
  • Soal Utama
    • Sub Soal Ib i
    • Jawaban Sub Soal Ib i
    • Sub Soal Ib ii
    • Jawaban Sub Soal Ib ii
    • Sub Soal Ib iii
    • Jawaban Sub Soal Ib iii

Soal 1b

Soal Utama

Diketahui persamaan diferensial sebagai berikut:

Sub Soal Ib i

Pilih sebuah metode numerik untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial dan rancanglah algoritma dari metode tersebut!

Jawaban Sub Soal Ib i

Dari suatu persamaan diferensial dengan bentuk:

dan memiliki initial condition . Kita bisa menyelesaikannya dengan metode Runge-Kutta order 4. Bentuk umumnya adalah sebagai berikut:

dimana adalah konstanta yang harus dicari.

Bentuk algoritmanya dalam pseudocode adalah sebagai berikut:

INPUT x0,y0,xmax

COMPUTE n = (xmax-x0)/h

FOR i 1:n
    k1 = f(x0,y0)
    k2 = f(x0 + 0.5*h,y0 + 0.5*k1*h)
    k3 = f(x0 + 0.5*h,y0 + 0.5*k2*h)
    k4 = f(x0 + h,y0 + k3*h)
    y0 = y0 + (1/6)*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) * h
    x0 = x0 + h

Jika dibuat dalam program R:

rk_4order = function(f,      # dy/dx
                     x0, y0, # init condition
                     h,      # selang
                     xmax){  # x max
  # initial condition
  x = x0
  y = y0
  n = (xmax-x0)/h
  # proses iterasi
  for(i in 1:n){
    k1 = f(x0,y0)
    k2 = f(x0 + 0.5*h,y0 + 0.5*k1*h)
    k3 = f(x0 + 0.5*h,y0 + 0.5*k2*h)
    k4 = f(x0 + h,y0 + k3*h)
    y0 = y0 + (1/6)*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) * h
    x0 = x0 + h
    x = c(x, x0)
    y = c(y, y0)
  }
  # output
  output = data.frame(x = x,
                      y = y)
  return(output)
}

Sub Soal Ib ii

Tentukanlah solusi persamaan diferensial di atas untuk rentang dengan kondisi awal dan rentang partisi .

Jawaban Sub Soal Ib ii

Mari kita selesaikan:

dydx = function(x,y){(x^2 + y)*sin((x^2) * y)}
x0 = 0
y0 = 5
xmax = 2
h = 0.2
solusi = rk_4order(dydx,x0,y0,h,xmax)

x	y
0.0	5.00000000
0.2	5.06760128
0.4	5.57269164
0.6	6.71789477
0.8	6.45613761
1.0	5.18752961
1.2	4.67362560
1.4	5.16720280
1.6	4.05194257
1.8	3.20113263
2.0	2.66358548

Solusi Persamaan Diferensial dengan RK4

Dalam bentuk grafik:

Sub Soal Ib iii

Bandingkan kurva solusinya (kurva vs ) jika digunakan nilai dan .

Jawaban Sub Soal Ib iii

Mari kita selesaikan:

solusi_h1 = rk_4order(dydx,x0,y0,0.1,xmax)
solusi_h2 = rk_4order(dydx,x0,y0,0.01,xmax)

Berikut grafik perbandingannya:

Secara visual dan intuitif bisa kita simpulkan bahwa semakin kecil , maka nilai hampirannya lebih baik karena penambahan terjadi secara perlahan.

---

if you find this article helpful, support this blog by clicking the ads.